论
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很多 DSP 工程里有个常见浪费：只需要判断 50Hz 工频干扰在不在、DTMF 按键是哪个双音、FSK 解调的两个频点谁能量大，结果把一整套 N 点 FFT 搬出来，算完 1024 个频点只用其中 1 个。在资源紧张的定点 DSP 或低成本 MCU 上，这种浪费直接转化为功耗和实时性压力。Goertzel 算法就是为“只关心少数几个频点”而生的。
原理一句话：Goertzel 是 DFT 单频点计算的递归实现。标准 DFT 求第 k 个频点需要 N 次复数乘加；Goertzel 利用旋转因子的递推关系，把它写成一个二阶 IIR 滤波形式，每个采样点只需一次实数乘加（实数输入时），N 个点算下来约 N 次乘法，最后一步再算个复数幅度。复杂度从 O(N log N)（FFT 全谱）降到 O(N)（单频点）。直观理解：它相当于一个中心频率精确落在目标频点上的窄带滤波器，采样点逐个喂进去，最后看输出能量。
工程实现有三个坑要注意。第一，定点实现时的位增长：递归状态变量 v[n] = x[n] + 2cos(θ)v[n-1] - v[n-2]，N 较大时中间变量幅度可能增长到输入的 N 量级，Q15 定点下容易溢出。对策是输入先做 1/N 量级的缩放，或者分块处理（block Goertzel），也可以直接上 32 位累加器。第二，频率分辨率：能检测的频率必须是 f = k·fs/N，k 为整数；目标频率落不到 bin 上会有泄漏，轻微失配时幅度读数偏小，门限判决要留余量，或者微调 N 让目标频率尽量落在整数 bin 上。第三，选型经验：需要检测的频点数 M 满足 M < log2(N) 时，Goertzel 比 FFT 省；频点多了还是 FFT 划算。DTMF 这种 8 个频点的场景，Goertzel 是教科书级的正确选择。
结论：频点少用 Goertzel，频点多用 FFT，别反了。下次在 DSP 上做单频点检测、导频音识别、工频陷波前的能量估计，先想想 Goertzel，代码量小、RAM 占用少（只需要前两个状态变量），定点移植也简单。把 FFT 留给真正需要全谱的场合。
原理一句话：Goertzel 是 DFT 单频点计算的递归实现。标准 DFT 求第 k 个频点需要 N 次复数乘加；Goertzel 利用旋转因子的递推关系，把它写成一个二阶 IIR 滤波形式，每个采样点只需一次实数乘加（实数输入时），N 个点算下来约 N 次乘法，最后一步再算个复数幅度。复杂度从 O(N log N)（FFT 全谱）降到 O(N)（单频点）。直观理解：它相当于一个中心频率精确落在目标频点上的窄带滤波器，采样点逐个喂进去，最后看输出能量。
工程实现有三个坑要注意。第一，定点实现时的位增长：递归状态变量 v[n] = x[n] + 2cos(θ)v[n-1] - v[n-2]，N 较大时中间变量幅度可能增长到输入的 N 量级，Q15 定点下容易溢出。对策是输入先做 1/N 量级的缩放，或者分块处理（block Goertzel），也可以直接上 32 位累加器。第二，频率分辨率：能检测的频率必须是 f = k·fs/N，k 为整数；目标频率落不到 bin 上会有泄漏，轻微失配时幅度读数偏小，门限判决要留余量，或者微调 N 让目标频率尽量落在整数 bin 上。第三，选型经验：需要检测的频点数 M 满足 M < log2(N) 时，Goertzel 比 FFT 省；频点多了还是 FFT 划算。DTMF 这种 8 个频点的场景，Goertzel 是教科书级的正确选择。
结论：频点少用 Goertzel，频点多用 FFT，别反了。下次在 DSP 上做单频点检测、导频音识别、工频陷波前的能量估计，先想想 Goertzel，代码量小、RAM 占用少（只需要前两个状态变量），定点移植也简单。把 FFT 留给真正需要全谱的场合。
